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【题目】我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做十字形”.

(1)①在平行四边形,矩形,菱形,正方形中,一定是十字形的有   

②在凸四边形ABCD中,AB=ADCB≠CD,则该四边形   十字形.(填不是”)

(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,ACBD交于点E,ADB﹣CDB=ABD﹣CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;

(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记十字形”ABCD的面积为S,记AOB,COD,AOD,BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;

= = 十字形”ABCD的周长为12

【答案】(1)①菱形,正方形;②不是;(2)(OE>0);(3)y=x2﹣9.

【解析】1)利用十字形的定义判断即可;

(2)先判断出∠ADB+CAD=ABD+CAB,进而判断出∠AED=AEB=90°,即:ACBD,再判断出四边形OMEN是矩形,进而得出OE2=2-(AC2+BD2),即可得出结论;

(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,-ac),求出S=ACBD=-(ac+c)×,S1=OAOB=-,S2=OCOD=-,S3=OA×OD=-,S4=OB×OC=-,进而建立方程,求出a=1,再求出b=0,进而判断出四边形ABCD是菱形,求出AD=3,进而求出c=-9,即可得出结论.

1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,

∴菱形,正方形是:十字形”,

∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,

∴平行四边形,矩形不是十字形”,

故答案为:菱形,正方形;

②如图,

CB=CD时,在ABCADC中,

ABC≌△ADC(SSS),

∴∠BAC=DAC,

AB=AD,

ACBD,

∴当CB≠CD时,四边形ABCD不是十字形”,

故答案为:不是;

(2)∵∠ADB+CBD=ABD+CDB,CBD=CDB=CAB,

∴∠ADB+CAD=ABD+CAB,

180°﹣AED=180°﹣AEB,

∴∠AED=AEB=90°,

ACBD,

过点OOMACM,ONBDN,连接OA,OD,

OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=AC,DN=BD,四边形OMEN是矩形,

ON=ME,OE2=OM2+ME2

OE2=OM2+ON2=2﹣(AC2+BD2),

6≤AC2+BD2≤7,

2﹣≤OE2≤2﹣

≤OE2

≤OE≤

(3)由题意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),

a>0,c<0,

OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,AC=,BD=﹣ac﹣c,

S=ACBD=﹣(ac+c)×,S1=OAOB=﹣,S2=OCOD=﹣

S3=OA×OD=﹣,S4=OB×OC=﹣

=2,

a=1,

S=﹣c,S1=﹣,S4=﹣

S=S1+S2+2

﹣c=﹣

b=0,

A(,0),B(0,c),C(,0),d(0,﹣c),

∴四边形ABCD是菱形,

4AD=12

AD=3

即:AD2=90,

AD2=c2﹣c,

c2﹣c=90,

c=﹣9c=10(舍),

即:y=x2﹣9.

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