Question

11．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到AF=BD．证出四边形ADCF是平行四边形，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；
（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．

解答 （1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}&{\;}\\{∠FEA=∠BED}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积=$\frac{1}{2}$AC?DF=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．