【题目】在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)已知点A(1,0),B(0,),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______;
(2)若点C(2,1),点D在直线y=5上,以CD为边的坐标菱形”为正方形,求育直线CD表达式;
(3)⊙O的半径为,点P的坐标为(3,m),若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.
【答案】(1)60°;(2)y=x-1或y=-x+3;(3)m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1.
【解析】
(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;
(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(6,5)或(-2,5),易得直线CD的表达式为:y=x-1或y=-x+3;
(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;
②先作直线y=-x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=-x,如图4,同理可得结论.
解:(1)如图1中,
点A(1,0),B(0,),
∴OA=1,OB=,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==2,
∵sin∠ABO==,
∴∠ABO=30°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABC=2∠ABO=60°,
∵AB∥CD,
∴∠DCB=180°-60°=120°,
∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°,
故答案为:60°;
(2)如图2中,
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,
∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.
过点C作CE⊥DE于E.
∴D(6,5)或(-2,5).
∴直线CD的表达式为:y=x-1或y=-x+3;
(3)分两种情况:
①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,
∵⊙O的半径为,且△OQ'D是等腰直角三角形,
∴OD=OQ'=2,
∴P'D=3-2=1,
∵△P'DB是等腰直角三角形,
∴P'B=BD=1,
∴P'(0,1),
同理可得:OA=2,
∴AB=3+2=5,
∵△ABP是等腰直角三角形,
∴PB=5,
∴P(0,5),
∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;
②先作直线y=-x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=-x,如图4,
∵⊙O的半径为,且△OQ'D是等腰直角三角形,
∴OD=OQ'=2,
∴BD=3-2=1,
∵△P'DB是等腰直角三角形,
∴P'B=BD=1,
∴P'(0,-1),
同理可得:OA=2,
∴AB=3+2=5,
∵△ABP是等腰直角三角形,
∴PB=5,
∴P(0,-5),
∴当-5≤m≤-1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;
综上所述,m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边三角形A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3,…,则点A2017的横坐标是 .
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点F,C是⊙O上两点,且,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若CD=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图1,中,,于点,,.
(1)求,的长
(2)若点是射线上的一个动点,作于点,连结.
①当点在线段上时,若是以为腰的等腰三角形,请求出所有符合条件的的长.
②设交直线于点,连结,,若,则的长为______________.(直接写出结果)
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【题目】如图,AB为半圆的直径,O为半圆的圆心,AC是弦,取弧的中点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=10,AC=5时,求CE的长;
(3)连接CD,AB=10.当=时,求DE的长.
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【题目】如图,在等边中,是边上一点,连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,若,,则有以下四个结论:①是等边三角形;②;③的周长是10;④.其中正确结论的序号是( )
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,sinC=,以点A为圆心,AB长为半径作弧交AC于M,分别以B、M为圆心,以大于BM长为半径作弧,两弧相交于点N,射线AN与BC相交于D,则AD的长为_____.
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【题目】如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E,H分别在AB,AC上,已知BC=40cm,AD=30cm,求这个正方形的边长.
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