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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1y1),点N的坐标为(x2y2),且x1x2y1y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.

1)已知点A10),B0),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______

2)若点C21),点D在直线y=5上,以CD为边的坐标菱形”为正方形,求育直线CD表达式;

3O的半径为,点P的坐标为(3m),若在O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.

【答案】(1)60°;(2)y=x-1y=-x+3;(3)m的取值范围是1≤m≤5-5≤m≤-1.

【解析】

(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;
(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(6,5)或(-2,5),易得直线CD的表达式为:y=x-1y=-x+3;
(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;
②先作直线y=-x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=-x,如图4,同理可得结论.

解:(1)如图1中,

A(1,0),B(0,),

OA=1,OB=

RtAOB中,由勾股定理得:AB==2,

sinABO==

∴∠ABO=30°,

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠ABC=2ABO=60°,

ABCD,

∴∠DCB=180°-60°=120°,

∴以AB为边的坐标菱形的最小内角为60°,

故答案为:60°;

(2)如图2中,

∵以CD为边的坐标菱形为正方形,

∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.

过点CCEDEE.

D(6,5)或(-2,5).

∴直线CD的表达式为:y=x-1y=-x+3;

(3)分两种情况:

①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,

∵⊙O的半径为,且△OQ'D是等腰直角三角形,

OD=OQ'=2,

P'D=3-2=1,

∵△P'DB是等腰直角三角形,

P'B=BD=1,

P'(0,1),

同理可得:OA=2,

AB=3+2=5,

∵△ABP是等腰直角三角形,

PB=5,

P(0,5),

∴当1≤m≤5时,以QP为边的坐标菱形为正方形;

②先作直线y=-x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=-x,如图4,

∵⊙O的半径为,且△OQ'D是等腰直角三角形,

OD=OQ'=2,

BD=3-2=1,

∵△P'DB是等腰直角三角形,

P'B=BD=1,

P'(0,-1),

同理可得:OA=2,

AB=3+2=5,

∵△ABP是等腰直角三角形,

PB=5,

P(0,-5),

∴当-5≤m≤-1时,以QP为边的坐标菱形为正方形;

综上所述,m的取值范围是1≤m≤5-5≤m≤-1.

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