Question

【题目】在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BED的平分线交直线CD于点F．若AB＝3，CF＝1，则BC＝_____．

Answer 1

【答案】2+1或

【解析】

如图1所示，当点F交在CD上时，由角平分线性质可知∠ABE=∠EBC，AD∥BC可得∠AEB=∠EBG，，即可证明AB=AE=3，BE=，同理可得BE=BG=,因AD∥BG，所以△EDF∽△GCF，设CG＝x根据相似三角形的性质即可求出CG， BC=BG-CG.当F点交在DC的延长线上时，如图2所示，同理可得即可求出BC.

解：①延长EF交BC点G，设CG＝x，如图1所示：

∵∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，

∴∠ABE＝∠CBE＝45°，

又∵AD∥BC，

∴∠CBE＝∠BEA，∠G＝∠DEF

∴∠ABE＝∠BEA，

∴AB＝AE，

又∵AB＝3，∴AE＝3，

∵EF平分∠BED，

∴∠BEG＝∠DEF

又∵∠G＝∠DEF，

∴∠BEG＝∠G

∴BG＝BE

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

∴BE＝，BG＝，

在△DEF和△CFG中，

，

∴△DEF∽△CFG

∴，

又∵CF＝1，CF+DF＝CD＝AB，

∴DF＝2，

∴ED＝2x，

又∵AD＝BC，AD＝AE+DE，

∴BC＝3+2x，

又∵BG＝BC+CG，

∴BG＝3+2x+x＝3+3x，

∴3+3x＝，

x＝．

∴BC＝，

②延长EH交DC的延长线于点F，设CH＝y，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC

∴∠2＝∠3，∠CBE＝∠AEB，

又∵BF平分∠BED，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴BE＝BH，

又∵BE是∠ABC的角平分线，

∴∠ABE＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE，

在Rt△ABE中，AB＝3，由勾股定理得：

，

∴BH＝；

又∵CH∥ED，

∴△FCH∽△FDE，

∴，

又∵CF＝1，CH＝y，

∴DE＝4y，

又∵AD＝BC，AD＝AE+DE，BC＝BH+CH，

∴3+4y＝，

解得：y＝，

∴BC＝；

故答案为：或