Question

【题目】已知点P是抛物线上的任意一点，设点P到直线y＝﹣1的距离为d1，点P到点F（0，3）的距离为d2

（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（2）判断d1，d2的大小关系并证明；

（3）若线段PF的延长线交抛物线于点Q，且线段PQ的长度是m，线段PQ的中点M到x轴的距离是n．直接写出m与n关系式．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的顶点坐标是：（0，1），对称轴为y轴；（2）d1＝d2，见解析；（3）m＝2n+2．

【解析】

(1)抛物线的解析式是已知的，根据顶点坐标公式，即可求解.

(2)设P（m，m2+1），分别得出d1和d2的平方值，通过比较即可得出d1和d2的大小关系.

(3)作QS⊥x轴，PR⊥x轴，取RS中点N，连接MN，那么MN就是梯形PRSQ的中位线，即可得出2MN＝QS+PR，从而得出m和n的关系.

解：（1）∵抛物线的解析式为：，

∴抛物线的顶点坐标是：（0，1），对称轴为y轴；

（2）设P（m，m2+1）

则d12＝（m2+2）2＝

d22＝m2+（3﹣m2﹣1）2＝

∴d12＝d22

∵d1＞0，d2＞0

∴d1＝d2；

（3）作QS⊥x轴，PR⊥x轴，取RS中点N，连接MN，

同（2）可证得QS＝QF﹣1，PR＝PF﹣1，

由梯形中位线：2MN＝QS+PR＝QF﹣1+PF﹣1＝QP﹣2，

则2n＝m﹣2，

所以m＝2n+2．