Question

3．如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向形外作正△ABD和正△ACE，且DF∥AE，EF∥AD．
（1）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE为矩形？
（2）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE不存在？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE为菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE为正方形？
（以上4小题，都不需说明理由）

Answer 1

分析 （1）当∠BAC=150°时，可求得∠DAE=90°，四边形ADFE是矩形；
（2）当∠BAC=60°时，可求得∠DAE=180°，即D，A，E共线，则可得当∠BAC=60°时，平行四边形ADFE不存在；
（3）由四边形ADFE是平行四边形，可得AD=AE时，即AB=AC时，平行四边形ADFE是菱形；
（4）由四边形ADFE是平行四边形，可得AD=AE时，即AB=AC时，且满足∠BAC=150°，四边形ADFE是正方形．

解答 解：∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
（1）当∠BAC=150°时，
理由：∵∠DAE=360°-∠BAC-∠DAB-∠EAC=90°，
∴∠BAC=150°，四边形ADFE为矩形．
（2）当∠BAC=60°时，平行四边形ADFE不存在．
理由：∵∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=60°+60°+60°=180°，
∴D，A，E共线，
∴平行四边形ADFE不存在．
（3）当AB=AC时，平行四边形ADFE是菱形．
理由：∵AD=AB，AE=AC，AB=AC，
∴AD=AE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是菱形．
（3）AB=AC时，且∠BAC=150°，四边形ADFE为正方形．
理由：∵AD=AB，AE=AC，AB=AC，
∴AD=AE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是菱形．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADFE为正方形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形、正方形、菱形的判定以及等边三角形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．