【题目】 阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
【答案】(1)x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;(2);(3)抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
【解析】
试题(1)根据特征线直接求出点D的特征线;
(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;
(2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
试题解析:解:(1)∵点D(m,n),∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;
(2)点D有一条特征线是y=x+1,∴n﹣m=1,∴n=m+1.∵抛物线解析式为,∴,∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n),∴B(2m,2m),∴,将n=m+1带入得到m=2,n=3;
∴D(2,3),∴抛物线解析式为.
(3)①如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时:
根据题意可得,D(2,3),∴OA′=OA=4,OM=2,∴∠A′OM=60°,∴∠A′OP=∠AOP=30°,∴MN==,∴抛物线需要向下平移的距离==.
②如图,当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,设A′(p,3),则OA′=OA=4,OE=3,EA′==,∴A′F=4﹣,设P(4,c)(c>0),,在Rt△A′FP中,(4﹣)2+(3﹣c)2=c2,∴c=,∴P(4,),∴直线OP解析式为y=x,∴N(2,),∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.
综上所述:抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
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【题目】已知关于的方程.
(1)若该方程有两个相等的实数根,求的值;
(2)求证:不论为何值,该方程一定有一个实数根是2;
(3)若、是该方程的两个根,且,求的值.
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【题目】在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(-3,4),B(-5,1),C(-1,2).
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;
(2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2,并写出点B2的坐标.
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【题目】△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,作∠ADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;
(2)如图2,连接DE,点G与点D关于直线AC对称,连接DG、EG
①依据题意补全图形;
②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系,并加以证明.
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接DB交⊙O于点H,E是BC上的一点,且BE=BF,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若BF=2,BD=2,求⊙O的半径.
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