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【题目】 阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的特征线.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.

问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,AC分别在x轴和y轴上,抛物线经过BC两点,顶点D在正方形内部.

(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;

(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;

(3)点PAB边上除点A外的任意一点,连接OP,将OAP沿着OP折叠,点A落在点A的位置,当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?

【答案】1x=my=ny=x+nmy=﹣x+m+n;(2;(3)抛物线向下平移距离,其顶点落在OP上.

【解析】

试题(1)根据特征线直接求出点D的特征线;

(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;

(2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.

试题解析:解:(1)∵点Dmn),∴点Dmn)的特征线是x=my=ny=x+nmy=﹣x+m+n

(2)点D有一条特征线是y=x+1,∴nm=1,∴n=m+1.∵抛物线解析式为,∴,∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,Dmn),∴B(2m,2m),∴,将n=m+1带入得到m=2,n=3;

D(2,3),∴抛物线解析式为

(3)①如图,当点A在平行于y轴的D点的特征线时

根据题意可得,D(2,3),∴OA′=OA=4,OM=2,∴∠AOM=60°,∴∠AOP=∠AOP=30°,∴MN==,∴抛物线需要向下平移的距离==

如图,当点A在平行于x轴的D点的特征线时,设A′(p,3),则OA′=OA=4,OE=3,EA′==,∴AF=4﹣,设P(4,c)(c>0),,在Rt△AFP中,(4﹣2+(3﹣c2=c2,∴c=,∴P(4,),∴直线OP解析式为y=x,∴N(2,),∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=

综上所述:抛物线向下平移距离,其顶点落在OP上.

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