Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．

(1)求证：直线CD为⊙O的切线；

(2)当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)1.5.

【解析】

（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）根据题意利用等腰三角形的性质得到OC＝OE，再结合勾股定理求出OC＝1，OE＝2，再得到Rt△OCE是含30度角的直角三角形，再利用含30度角的直角三角形的性质，即可求出答案．

(1)证明：连接OC，如图所示，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠OCA，

∴∠OAC＝∠CAD，

∴OC∥AD，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∵OC为圆O的半径，

∴CD为圆O的切线；

(2)解：∵AB＝2BE，且AB＝2OA＝2OB，

∴OA＝OB＝BE＝OC，

即OC＝OE，

在Rt△OCE中，CE＝，

∴OC＝1，OE＝2，

∵在Rt△OCE中，2OC= OE，

∴∠CEO=30°，

即AE＝3，

∴AD＝AE＝1.5．