Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2．

（1）若直线l1：y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，求抛物线C的解析式．

（2）如图1，在（1）的条件下，在y轴上有一点A（0，4），过点A作直线l2与抛物线C有两个交点M、N（N位于第一象限），过点N作x轴的垂线，垂足为H．试探究：是否存在l2，使△MON∽△NHO？若存在，求出l2的解析式；若不存在，说明理由．

（3）如图2，E、F为抛物线C（y=ax2）上两动点，始终满足OE⊥OF，连接EF，则直线EF是否恒过一定点G？若存在点G，直接写出G点坐标（用含a的坐标表示），若不存在，给予证明．

（参考结论：若直线l：y=kx+b上有两点（x1，y1）、（x2，y2），则斜率k=；当两直线l1、l2的斜率乘积k1k2=-1时，l1⊥l2）

Answer 1

【答案】(1) C的解析式为y=x2；(2) y=4；（3）点G坐标为（0，）．

【解析】

试题分析：（1）首先将l1和抛物线C的解析式联立得：ax2-x+1=0，由直线l1：y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，可得△=0，继而求得a的值，即求得抛物线C的解析式；

（2）首先设l2解析式为y=kx+b，然后与抛物线C解析式联立，再设点M（x1，kx1+4），N（x2，kx2+4），分别表示出OM，ON的斜率，然后求得k1k2=-1，即可证得OM⊥ON，则可求得l2的解析式；

（3）与（2）类似，可以由k1k2=-1，求得G点坐标．

试题解析：（1）将l1和抛物线C的解析式联立得：ax2-x+1=0，

∵y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，

∴△=1-4a=0，

解得a=，

∴C的解析式为y=x2；

（2）假设存在l2，设l2解析式为y=kx+b，

与抛物线C解析式联立得： x2-kx-4=0，

设点M（x1，kx1+4），N（x2，kx2+4），

则直线OM、ON的斜率分别为k1=，k2=，

∴k1k2=k2+，

∵x1+x2=4k，x1x2=-16，

∴k1k2=k2++=-1，

∴OM⊥ON恒成立，∠MON=∠NHO=90°，

要想使△MON∽△NHO成立，只需再令∠MNO=∠NOH即可，

即MN⊥x轴，

∴存在l2符合题意，l2解析式为y=4；

（3）存在定点G，

假设存在l，设l解析式为y=kx+b，

与抛物线C解析式联立得：ax2-kx-b=0，

设点M（x1，kx1+b），N（x2，kx2+b），

则直线OM、ON的斜率分别为k1=，k2=，

∴k1k2=k2+，

∵x1+x2=，x1x2=-，OE⊥OF，

∴k1k2=k2+=-ab=-1，

∴b=，

∴点G坐标为（0，）．