Question

如图，一次函数y=-x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求C点坐标；
（2）在x轴上有一点P，求当PC+PB值最小时，点P的坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,一次函数图象上点的坐标特征,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）作CD⊥x轴，易证∠OAB=∠ACD，即可证明△ABO≌△CAD，可得AD=OB，CD=OA，即可解题；
（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，即可求得E点坐标，根据点P在直线BE上即可求得点P坐标，即可解题．

解答：解：（1）作CD⊥x轴，

∵∠OAB+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，

∠AOB=∠CDA=90° ∠OAB=∠ACD AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∵y=-x+2与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴点C坐标为（4，2）；
（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，

则E点坐标为（4，-2），△ACD≌△AED，
∴AE=AC，
∴直线BE解析式为y=-x+2，
设点P坐标为（x，0），
则（x，0）位于直线BE上，
∴点P坐标为（2，0）于点A重合．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABO≌△CAD是解题的关键．