【题目】在矩形中,,,分别以,所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系,是上的一个动点(不与、重合),过点的反比例函数的图象与边交于点,连接,,.
(1)若,求点的坐标;
(2)当点在上移动时,与的面积差记为,求当为何值时,有最大值,最大值是多少?
(3)是否存在这样的点,使得为直角三角形?若存在,求出此时点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当时,有最大值,S最大值;(3)存在,
【解析】
(1)由OA与OB的长,根据C位于第一象限点,即可确定出C的坐标,再求出BF的长即可解决问题;
(2)应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积,利用二次函数求出最值即可.
(3)存在这样的点F,使得△OEF为直角三角形,理由为:由∠EOF为锐角,不可能为直角,设BF=a,由OB=6,得到F(6,a),代入反比例解析式得:k=6a;由OA=4,得到4AE=k=6a,即AE=AE=1.5a,EC=AC-AE=6-1.5a,CF=BC-BF=4-a;分两种情况考虑:当∠OEF为直角时,得到三角形AOE与三角形ECF相似,由相似得比例,将各自的值代入列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值;当∠OFE为直角时,同理求出a的值,经检验不合题意,综上得到满足题意a的值.
解:(1),,且在第一象限,
的坐标为;
,
,
,
故答案为:;
(2)解:,两点坐标分别为,,,
,
,
,
,
,
,
,
当时,有最大值.
.
(3)存在,理由为:
设,由,得到,代入反比例函数解析式得:;
由,得到,即,
,,
由为锐角,不可能为直角,
故分两种情况讨论:
①当时,可得,
又,且,
,
,即,
整理得,
解得:,,
;
②当时,同理:,
,即,
整理得,
解得,均不合题意,
,
综上所述,当时,为直角三角形.
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【题目】在等腰直角三角形中,,,点在斜边上(),作,且,连接,如图(1).
(1)求证:;
(2)延长至点,使得,与交于点.如图(2).
①求证:;
②求证:.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,以AD为斜边作△ADC,使∠C=90°,∠CAD=∠DAB
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若AB=9,AD=6,求DC的长.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)点P为线段BC上方抛物线上(不与B、C重合)的一动点,连接PC、PB,当△PBC面积最大时,在y轴找点D,使得PD﹣OD的值最小时,求这个最小值.
(2)如图2,抛物线对称轴与x轴交于点K,与线段BC交于点M,在对称轴上取一点R,使得KR=12(点R在第一象限),连接BR.已知点N为线段BR上一动点,连接MN,将△BMN沿MN翻折到△B'MN.当△B'MN与△BMR重叠部分(如图中的△MNQ)为直角三角形时,直接写出此时点B'的坐标.
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【题目】如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别是PB、PC(靠近点P)的三等分点,△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为、、,若AD=2,AB=,∠A=60°,则的值为( )
A. B. C. D. 4
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【题目】如图,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M、N分别是DC、DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=_______.
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【题目】某商场以每件20元购进一批衬衫,若以每件40元出售,则每天可售出60件,经调查发现,如果每件衬衫每涨价1元,商场平均每天可少售出2件,若设每件衬衫涨价元,回答下列问题:
(1)该商场每天售出衬衫 件(用含的代数式表示);
(2)求的值为多少时,商场平均每天获利1050元?
(3)该商场平均每天获利 (填“能”或“不能”)达到1250元?
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【题目】如图,直线AB表达式为y=﹣2x+2,交x轴于点A,交y轴于点B.若y轴负半轴上有一点C,且CO=AO.
(1)求点C的坐标和直线AC的表达式;
(2)在直线AC上是否存在点D,使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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