Question

【题目】定义：若抛物线L2：y=mx2+nx（m≠0）与抛物线L1：y=ax2+bx（a≠0）的开口大小相同，方向相反，且抛物线L2经过L1的顶点，我们称抛物线L2为L1的“友好抛物线”．

（1）若L1的表达式为y=x2﹣2x，求L1的“友好抛物线”的表达式；

（2）已知抛物线L2：y=mx2+nx为L1：y=ax2+bx的“友好抛物线”．求证：抛物线L1也是L2的“友好抛物线”；

（3）平面上有点P（1，0），Q（3，0），抛物线L2：y=mx2+nx为L1：y=ax2的“友好抛物线”，且抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L2与线段PQ没有公共点时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2；（2）答案见解析；（3）0＜a＜或a＞8．

【解析】试题（1）设L1的“友好抛物线”的表达式为：y=﹣x2+bx，根据L1：y=x2﹣2x可得其顶点坐标，代入y=﹣x2+bx可得b的值，进而得出L1的“友好抛物线”；

（2）先求出抛物线L1和L2的顶点坐标，根据L2过L1 的顶点，得出bn=0，进而得到抛物线L1经过L2的顶点，再根据L2与L1的开口大小相同，方向相反，即可得出抛物线L1也是L2的“友好抛物线”；

（3）根据“友好抛物线”的定义，得到m=﹣a，进而得到L2的顶点为（，）．根据抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，可得a=n2＞0．再根据L2经过点P（1，0），得到a=8．根据L2经过点Q（3，0），得到a=．进而得出抛物线L2与线段PQ没有公共点时，a的取值范围．

试题解析：解：（1）依题意，可设L1的“友好抛物线”的表达式为：y=﹣x2+bx，∵L1：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴L1的顶点为（1，﹣1），∵y=﹣x2+bx过点（1，﹣1），∴﹣1=﹣12+b，即b=0，∴L1的“友好抛物线”为：y=﹣x2．

（2）L2：y=mx2+nx的顶点为（，），L1：y=ax2+bx的顶点为（，），∵L2为L1 的“友好抛物线”，∴m=﹣a．

∵L2过L1 的顶点，∴=m×（）2+n×（）．

化简得：bn=0．

把x=代入y=ax2+bx，得

y═a×（）2+b×（）==，∴抛物线L1经过L2的顶点．

又∵L2与L1的开口大小相同，方向相反，∴抛物线L1也是L2的“友好抛物线”．

（3）∵抛物线L2：y=mx2+nx为L1：y=ax2的“友好抛物线”，∴m=﹣a，∴L2：y=﹣ax2+nx的顶点为（，）．

∵抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，∴=2，即a=n2＞0．

当L2经过点P（1，0）时，﹣a+n=0，∴a=8．

当L2经过点Q（3，0）时，﹣9a+3n=0，∴a=，∴抛物线L2与线段PQ没有公共点时，0＜a＜或a＞8．