Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，过点B作MN∥AC，D是射线BA上的动点，射线DC绕点D逆时针旋转60°得射线DE，DE交MN于E．

（1）如图①，当D为AB中点时，求证：BD+BE＝BC；

（2）如图②，当D在BA延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出BC，BD，BE三条线段的数量关系，并说明理由；

（3）当∠DCA＝15°时，直接写出BD，BE的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论不成立．BD﹣BE＝BC，见解析；（3）BD＝（1+）BE或BD＝（+）BE

【解析】

（1）如图1中，连接EC．首先证明C，D，B，E四点共圆，推出△DCE是等边三角形，再证明△ACD≌△BCE（SAS）可得结论．

（2）如图2中，结论不成立．BD﹣BE＝BC．证明方法类似（1），利用全等三角形的性质解决问题即可．

（3）分两种情形：①如图③﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：BD＝（1+）BE．②如图③﹣2中，当点D在BA的延长线上时，结论：BD＝（+）BE，利用参数解直角三角形解决问题即可．

（1）证明：如图1中，连接EC．

∵△ABC是等边三角形，

∴CA＝CB＝AB，∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵MN∥AC，

∴∠CBE＝∠ACB＝60°，

∵∠CDE＝60°，

∴∠CDE＝∠CBE＝60°，

∴C，D，B，E四点共圆，

∴∠CED＝∠CBD＝60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵BC＝AB＝AD+BD，

∴BC＝BE+BD．

（2）解：如图2中，结论不成立．BD﹣BE＝BC．

理由：连接EC．

∵△ABC是等边三角形，

∴CA＝CB＝AB，∠ACB＝∠ABC＝∠CAB＝60°，

∵MN∥AC，

∴∠EBA＝∠CAB＝60°，

∴∠EBC＝120°，

∵∠CDE＝60°，

∴∠CDE+∠CBE＝180°，

∴C，D，E，B四点共圆，

∴∠CED＝∠CBD＝60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠DCE＝∠ACB＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵BC＝AB＝BD﹣AD

∴BC＝BD﹣BE．

（3）解：①如图③﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：BD＝（1+）BE．

理由：作BH⊥DE于H，在DE上取一点K，使得DK＝BK，连接BK．

∵∠ACD＝15°，∠A＝∠CDE＝60°，∠BDC＝∠A+∠ACD，

∴∠BDE＝∠ACD＝60°，

∵MN∥AC，

∴∠CBN＝∠ACB＝60°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠DBE＝120°，∠DEB＝45°，

∵BH⊥DE，

∴∠BHE＝∠BHD＝90°，

∴∠HBE＝∠HEB＝45°，

∴BH＝EH，设BH＝EH＝x，则BE＝=x，

∵DK＝KB，

∴∠KDB＝∠KBD＝15°，

∴∠BKE＝∠KDB+∠KBD＝30°，

∴BK＝DK＝2x，KH＝BKcos30°=x，

∴BD＝＝＝（）x，

∴＝＝1+，

∴BD＝（1+）BE．

②如图③﹣2中，当点D在BA的延长线上时，结论：BD＝（+）BE，

理由：作EH⊥AB于H．

在DB上取一点G，使得DG＝EG，连接EG．

设EH＝m．

同法可证：∠EDB＝15°，∠EBH＝60°，

∴∠EGB＝30°，

则有DH＝DG+GH=EG+GH=EH÷sin30°+EH÷tan30°=2m+m，EB=EH÷sin60°＝m，

∴＝＝+

∴BD＝（+）BE，