Question

【题目】如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．

（1）点P的运动路径是一个圆；

（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）≤PC≤

【解析】

（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；

（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．

（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：

则HP是△ABO的中位线，

∴HP＝OB＝1，

∴P点到H点的距离固定为1，

∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；

（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：

∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，

∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，

∴PC＝PA＝AB，

当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，

∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，

∴AP'＝AM＝，

∴PC＝；

当点B运动到点N位置时，点P运动到点P'位置，PC最长，

∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，

∴AP'＝AN＝，

∴PC＝；

∴PC长的取值范围是≤PC≤．