Question

【题目】如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PAPC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．

（1）求证：△PAE∽△PEC；

（2）求证：PE为⊙O的切线；

（3）若∠B=30°，，求证：DO=DP．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可得证结论；

（2）连接BE，转化出，又由相似得出，从而用直径所对的圆周角是直角，转化出即可；

（3）构造全等三角形，先找出与的关系，再用等积式找出与的关系，从而判断出，得出即可．

解：（1）证明：∵

∴

∵

∴；

（2）连接BE，如图：

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵为直径

∴

∴

∵

∴

∵点在上

∴是的切线；

（3）过点作于，如图：

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

∵、

∴

∴．