【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形,理由见解析;(3)当∠A的大小是45°时,四边形BECD是正方形.
【解析】分析:(1)由BC⊥AC,DE⊥BC,得到DE∥AC,从而判断出四边形ADEC是平行四边形.即可,
(2)先判断出△BFD≌△CFE,再判断出BC和DE垂直且互相平分,得到四边形BECD是菱形.
(3)先判断出∠CDB=90°,从而得到有一个角是直角的菱形是正方形.
解析:(1)证明:∵直线m∥AB,
∴EC∥AD.
又∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC.
又∵DE⊥BC,
∴DE∥AC.
∵EC∥AD,DE∥AC,
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE=AD.
(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形.
证明:∵ D是AB中点,
∴DB=DA
又∵直线m∥AB,CE=AD
∴DB= CE,DB ∥ CE
∴四边形BDCE是平行四边形
又∵DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形
(3)当∠A的大小是45°时,四边形BECD是正方形.
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【题目】某校开展“爱我海珠,创卫同行”的活动,倡议学生利用双休日在海珠湿地公园参加义务劳动,为了解同学们劳动情况,学校随机调查了部分同学的劳动时间,并用得到的数据绘制了不完整的统计图,根据图中信息解答下列问题:
(1)将条形统计图补充完整.
(2)抽查的学生劳动时间的众数为 , 中位数为 .
(3)已知全校学生人数为1200人,请你估算该校学生参加义务劳动1小时的有多少人?
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将△ADC沿AC折叠,点D落在点D′处,CD′与AB交于点F.
(1)求线段AF的长.
(2)求△AFC的面积.
(3)点P为线段AC(不含点A、C)上任意一点,PM⊥AB于点M,PN⊥CD′于点N,试求PM+PN的值.
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【题目】已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的直径为5,sinA=,求BH的长.
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【题目】多肉植物因体积小、外形萌、色彩斑斓,茶几阳台摆放方便,深爱送花爱好者的喜欢,某花店抓佳这个商机,第一次购进甲、乙两种多肉植物共300株.甲种多肉植物每株成本4元,售价8元;乙种多肉植物每株成本6元,售价10元.若第一次购进多肉植物的金额为1400元,则甲种多肉植物购进多少株?
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【题目】李师傅下岗后,做起来小生意,第一次进货,他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品,以每件b元的价格购进了40件乙种小商品,且a<b.
(1)若李师傅将甲种商品提价40%,乙种商品提价30%全部出售,他获利多少元?(用含有a,b的式子表示结果)
(2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售,他这次买卖是赚钱还是亏本,请说明理由?
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【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是_________;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是____________.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使,请直接写出相应的BF的长.
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