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【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABCDEC重合放置,其中∠C=90°,B=E=30°.

(1)操作发现

如图2,固定ABC,使DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:

①线段DEAC位置关系是_________;

②设BDC的面积为S1AEC的面积为S2,则S1S2的数量关系是____________.

(2)猜想论证

DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了BDCAECBCCE边上的高,请你证明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//ABBC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使,请直接写出相应的BF的长.

【答案】(1)DEACS1=S2;(2)证明见解析;(3)BF的长为.

【解析】试题分析:(1根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°,然后根据内错角相等,两直线平行解答;

根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点CAB的距离等于点DAC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;

2)根据旋转的性质可得BC=CEAC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用角角边证明△ACN△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;

3)过点DDF1∥BE,求出四边形BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点,过点DDF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用边角边证明△CDF1△CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,然后在等腰△BDE中求出BE的长,即可得解.

解:(1①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,

∴AC=CD

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°

∴△ACD是等边三角形,

∴∠ACD=60°

∵∠CDE=∠BAC=60°

∴∠ACD=∠CDE

∴DE∥AC

②∵∠B=30°∠C=90°

∴CD=AC=AB

∴BD=AD=AC

根据等边三角形的性质,△ACD的边ACAD上的高相等,

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

S1=S2

故答案为:DE∥ACS1=S2

2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,

∴BC=CEAC=CD

∵∠ACN+∠BCN=90°∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°

∴∠ACN=∠DCM

△ACN△DCM中,

∴△ACN≌△DCMAAS),

∴AN=DM

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

S1=S2

3)如图,过点DDF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,

所以BE=DF1,且BEDF1上的高相等,

此时SDCF1=SBDE

过点DDF2⊥BD

∵∠ABC=60°F1D∥BE

∴∠F2F1D=∠ABC=60°

∵BF1=DF1∠F1BD=∠ABC=30°∠F2DB=90°

∴∠F1DF2=∠ABC=60°

∴△DF1F2是等边三角形,

∴DF1=DF2

∵BD=CD∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°

∴∠CDF1=∠CDF2

△CDF1△CDF2中,

∴△CDF1≌△CDF2SAS),

F2也是所求的点,

∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°

∵BD=4

∴BE=×4÷cos30°=2÷=

∴BF1=BF2=BF1+F1F2=+=

BF的长为

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