Question

【题目】△ABD中，AB=BD，点C在直线BD上，BD=3CD，cos∠CAD= ，AD=6，则AC= ．

Answer 1

【答案】6或
【解析】解：分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，

Rt△ADE中，cos∠CAD= = ，即 = ，

∴AE= ， 分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，在Rt△ADE中根据锐角三角函数的定义得出AE的长，

∵BD=3CD，DE∥BF，

∴ = = ，

设CE=x，则CG=2x，GE=3x，

∵AB=BD，BF⊥AD，

∴AF=FD，

∴AG=GE=3x，

∴AE=6x，AC=5x，

∴AC= AE= × =6；②如图所示，当C在BD的延长线上时，过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，

∵AB=BD，BF⊥AD，

∴AF=FD= AD=3，

∵CE∥BF，BD=3CD，

∴ = = ，

∴ = ，即DE=1，

∴AE=6+1=7，

∵Rt△ACE中，cos∠CAD= ，

∴ = ，即 = ，

∴AC= ．

综上所述，AC的长为6或 ．

所以答案是：6或 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对平行线分线段成比例的理解，了解三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．