Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB交BC于E、交AC于F，∠CDE=∠ACB=30°，BC=DE．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=4，求CD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）先根据条件证明△ABC≌△CED就可以得出∠CDE=∠ACB=30°，再计算出∠DCF=30°，这样就可以得出结论；
（2）根据AB=4就可以求出AC的值，就可以求出CD．

解答：解：（1）∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B．
在△ABC和△CED中

∠B=∠DEC BC=DE ∠ACB=∠CDE

，
∴△ABC≌△CED（ASA）
∴∠CDE=∠ACB=30°，
∴∠DCE=30°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠DCF=∠CDF，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB．
∵AB=4，
∴AC=8，
∴CD=8．
答：CD=8．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．