Question

设n是正整数，0＜x≤1，在△ABC中，如果AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，BC边上的高AD=n，那么，这样的三角形共有（　　）

A、10个

B、11个

C、12个

D、无穷多个

Answer 1

分析：由已知可知在△ABC的三个角中，∠C最小，再根据余弦定理和勾股定理用n表示x，根据0＜x≤1，可得关于n的不等式，解得n的取值范围，从而得到三角形的个数．

解答：解：已知n是正整数，0＜x≤1，AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，可知在△ABC的三个角中，∠C最小，
根据余弦定理，得
AB²=BC²+CA²-2BC•CA•cosC
cosC=（BC²+CA²-AB²）÷（2BC•CA）
=[（n+2x）²+（n+3x）²-（n+x）²]÷[2•（n+2x）•（n+3x）]
=（n+6x）÷[2•（n+3x）]
在RT△ADC中，
CD=CA•cosC=（n+3x）•（n+6x）÷[2•（n+3x）]=（n+6x）÷2
根据勾股定理，得
CA²=AD²+CD2
（n+3x）²=n²+（n+6x）²÷4
n=12x
x=n÷12
0＜x≤1
0＜n÷12≤1
0＜n≤12
因n是正整数，故这样的三角形最多共有12个．
故选C．

点评：本题考查了三角形三边关系，余弦定理，勾股定理和解不等式，综合性较强，有一定的难度．