Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm／s．

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗?说明理由；

（2）若BD=8cm，AC=12cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形?

Answer 1

【答案】（1）四边形DEBF是平行四边形，见解析；（2）t=2或10，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．

【解析】

（1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否互相平分；已知了四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可证得BD、EF互相平分，即四边形DEBF是平行四边形；

（2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可据此求出时间t的值．注意分点E在线段OA上和在线段OC上分类讨论.

解:（1）∵点E、F的速度均为1cm/s

∴AE=FC

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=OC，DO=BO

∴EO=FO

∴四边形DEBF是平行四边形

（2）∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD=EF时，四边形DEBF是矩形；
∵BD=8cm，
∴EF=8cm；
∴OE=OF=4cm；
∵AC=12cm；
∴OA=OC=6cm；

当E(或F)在线段OA(或OC)上时，AE=2cm

当E(或F)在线段OC(或OA)上时，AE=10cm；
由于动点的速度都是1cm/s，
所以t=2（s）或t=10（s）；
故当运动时间t=2s或10s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．