Question

13．如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D-∠B．
探究一：将点P移到AB，CD内部，如图②，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？并证明你的结论；
探究二：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之间又有何数量关系？并证明你的结论；
探究三：在图④中，直接根据探究二的结论，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

分析 探究一，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质可知∠B+∠BPE=180°，∠D+∠EPD=180°，即∠B+∠BPD+∠D=360°．
探究二，连接QP并延长至E，根据∠BPE是△BPQ的一个外角，得到∠BPE=∠BQP+∠B．同理得到∠EPD=∠DQP+∠PDQ，从而∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD．  
探究三，根据三角形外角性质和四边形的内角和等于360°得出即可．

解答 探究一，∠B+∠BPD+∠D=360°，
证明：过点P作PE∥AB，如图②，
∴∠B+∠BPE=180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠D+∠EPD=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°，
即∠B+∠BPD+∠D=360°；

探究二，∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD，
证明：连接QP并延长至E，如图③，
∵∠BPE是△BPQ的一个外角，
∴∠BPE=∠BQP+∠B．
同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ．
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．
即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；
             
探究三，如图④，∵∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠F，∠1+∠2+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

点评 本题考查了平行线的性质，同时要结合三角外角的性质，最关键的是知道两直线平行，内错角相等．