Question

7．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），B（0，-4），C（4$\sqrt{3}$，0），D（0，4），点P、Q分别是线段AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，与y轴交于点F，∠BAD=180°-∠BEQ，设AP的长为x．
（1）求sin∠BEQ的值；
（2）若$\frac{AE}{PE}=\frac{20}{21}$，求P点的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，问△APE能否为等腰三角形？若能，求出BQ的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得到AD=AB=5，再由△BGD∽△AOD，得到$\frac{BG}{OA}$=$\frac{BD}{AD}$，求出BG，再利用锐角的三角函数即可求解；
（2）先判断出△APE∽△AEP，得到FD=$\frac{21}{4}$，再判断出△EFB∽△BFA得到比例式求出AE=$\frac{12}{13}$，再由△APH∽△ADO求出AH，即可求解；
（3）分三种情况①当PA=EA时，由△APE≌△AFD求出AF，②当AP=PE时，由反证法判断不存在，③当AE=PE时，由△BKQ∽△BOC，通过计算即可．

解答 解：（1）如图，作BG⊥DA，交DA的延长线于G，
∵A（-3，0），B（0，-4），C（4$\sqrt{3}$，0），D（0，4），
∴OA=3，OD=0B=4，AC=8，
∴AD=AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BGD=∠AOD=90°，∠BDG=∠ADO，
∴△BGD∽△AOD，
∴$\frac{BG}{OA}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴BG=$\frac{OA•BD}{AD}$=$\frac{3×8}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴sin∠GAB=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{\frac{24}{5}}{5}$=$\frac{24}{25}$，
∵∠BAD=180°-∠BEQ，
∴∠BEQ=180°-∠BAD=∠GAB，
∴sin∠BEQ=$\frac{24}{25}$；
（2）∵∠AEP=∠ADF，∠PAE=∠FAD，
∴△APE∽△AEP，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{DE}=\frac{20}{21}$
∴FD=$\frac{21}{20}$×AD=$\frac{21}{20}$×5=$\frac{21}{4}$，
∵BF=8-$\frac{21}{4}$=$\frac{11}{4}$，
∴OF=4-$\frac{11}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴AF=$\sqrt{{3}^{2}{+（\frac{5}{4}）}^{2}}$=$\frac{13}{4}$，
∵∠FEB=∠FBA，∠EFB=BFA，
∴△EFB∽△BFA，
∴$\frac{EF}{FB}=\frac{FB}{FA}$，
∴EF=$\frac{11}{4}×\frac{11}{4}÷\frac{13}{4}$=$\frac{121}{52}$，
∴AE=$\frac{13}{4}$-$\frac{121}{52}$=$\frac{12}{13}$，
∵△APE∽△AFP，
∴$\frac{AP}{AE}=\frac{AF}{AD}$$\frac{AP}{AE}=\frac{AF}{AO}$，
∴AP=$\frac{3}{5}$，
作PH⊥x轴，
∴△APH∽△ADO，
∴$\frac{\frac{3}{5}}{PH}=\frac{5}{4}$，
∴$\frac{AH}{\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}$，
∴PH=$\frac{12}{25}$，AH=$\frac{9}{25}$，HO=$\frac{66}{25}$，
∴P（$\frac{66}{25}$，$\frac{12}{25}$）．
（3）①当PA=EA时，
∵△APE≌△AFD，
∴AF=AD=5，
此时点F，Q重合，BQ=1，
②当AP=PE时，
有FA=FD，
∴∠FAD=∠ADF，
∵点Q在BC上，
∴∠FAD≥∠OAD，
∵OD=4＞OA=3，
∴∠OAD＞∠ADF，
∴∠FAD＞∠ADF，
FA＜AD，相矛盾，
∴AP≠PE；
③当AE=PE时，
∴DF=AD=5，FB=3，OF=1，
作QK⊥y轴，设KQ=x，
∵△QKF∽△AOF，
∴$\frac{KQ}{KF}=\frac{AO}{OF}$，
∴$\frac{x}{KF}=\frac{3}{1}$，
∴KF=$\frac{1}{3}$x，
∵△BKQ∽△BOC，
∴$\frac{BK}{KQ}=\frac{BO}{OC}$，
∴$\frac{BK}{x}=\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴BK=$\frac{1}{\sqrt{3}}$x，
∵BF=BK+KF，
∴3=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}$x，
∴x=$\frac{9（\sqrt{3}-1）}{2}$；
∴KB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$x=$\frac{1}{\sqrt{3}}$×$\frac{9（\sqrt{3}-1）}{2}$=$\frac{3（3-\sqrt{3}）}{2}$，
∵BQ²=[$\frac{9（\sqrt{3}-1）}{2}$]²+[$\frac{3（3-\sqrt{3}）}{2}$]²，
∴BQ=9-3$\sqrt{3}$．
即：当PA=EA的等腰三角形时，BQ=0，当EA=EP的等腰三角形时，BQ=9-3$\sqrt{3}$．

点评 此题是一次函数的综合题，主要考查了三角形的相似，锐角三角函数，解本题的关键是找到相等关系，就出线段，本题的难点是用反证法判断出AP≠PE．