Question

7．如图A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）求$\frac{EF}{DH}$的比值；若DH=6，求EF和半径OA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，推出AE=$\frac{1}{3}$AD，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{DH}$=$\frac{AE}{AD}$，求得EF=2，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接OB，
∵OA=OB=OC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠FAD=15°，
∴∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠BOF=30°，
∴OF⊥AB，
∵CD∥OF，
∴CD⊥AD，
∵AD∥OC，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆O的切线；
（2）∵BC∥OA，
∴∠DBC=∠EAO=60°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=$\frac{1}{3}$AD，
∵EF∥DH，
∴△AEF∽△ADH，
∴$\frac{EF}{DH}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∵DH=6，
∴EF=2，
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OA-2}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OF=OA，
∴OE=OA-2
∵∠AOE=30°，
解得：OA=8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．