Question

5．如图，定义：若双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的对径．
（1）求双曲线y=$\frac{1}{x}$的对径．
（2）仿照上述定义，定义双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的对径，并直接写出y=-$\frac{3}{x}$的对径．
（3）若双曲线y=$\frac{k}{x}$的对径是10$\sqrt{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 过A点作AC⊥x轴于C，
（1）先解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$，则AB=2OA=2$\sqrt{2}$，于是得到双曲线y=$\frac{1}{x}$的对径；
（2）双曲线y=$\frac{x}{k}$（k＜0）的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y=$\frac{x}{k}$（k＜0）的对径，同（1）的方法即可得出y=-$\frac{3}{x}$的对径；
（3）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10$\sqrt{2}$，即AB=10$\sqrt{2}$，OA=5$\sqrt{2}$，根据OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）即可得到k的值；

解答 解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$，
∴AB=2OA=2$\sqrt{2}$，
∴双曲线y=$\frac{1}{x}$的对径是2$\sqrt{2}$；                  
（2）若双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，
则线段AB的长度为双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的对径．
同（1）的方法得出，y=-$\frac{3}{x}$的对径为2$\sqrt{6}$．
（3）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$的对径为10$\sqrt{2}$，即AB=10$\sqrt{2}$，OA=5$\sqrt{2}$，
∴OA=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$AC，
∴OC=AC=5，
∴点A坐标为（5，5），或点A坐标为（-5，5）
把A（5，5）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）得k=5×5=25，即k的值为25；
把A（-5，5）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）得k=-5×5=-25，即k的值为-25；
即k的值为25或-25．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，反比例函数图象上点的坐标特征，点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，难度适中．准确理解双曲线对径的定义是解题的关键．