Question

10．如图，在△ABC中，角平分线AD，BE，CF相交于点H，过A点作AG⊥BE，垂足为G，那么∠HAG=$\frac{1}{2}$∠ACB吗？为什么？

Answer 1

分析 由题意可得：∠BAD+∠CAD+∠EAG+∠ABG=90°，又∠ABG+∠BAD+∠ACF=90°，两者联立得出∠BAD+∠CAD+∠EAG+∠ABG=∠ABG+∠BAD+∠ACF，进一步整理得出答案即可．

解答 解：∵AG⊥BE，
∴∠AGA=90°，
∴∠BAD+∠CAD+∠EAG+∠ABG=90°，
∵AD，BE，CF是△ABC的角平分线，
∴∠ABG=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ABG+∠BAD+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ACB）=90°，
∴∠BAD+∠CAD+∠EAG+∠ABG=∠ABG+∠BAD+∠ACF，
即∠CAD+∠EAG=∠ACF，
∴∠HAG=$\frac{1}{2}$∠ACB．

点评 此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．