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【题目】已知矩形ABCD中,AB2BCm,点E是边BC上一点,BE1,连接AE

1)沿AE翻折ABE使点B落在点F处,

①连接CF,若CFAE,求m的值;

②连接DF,若DF,求m的取值范围.

2ABE绕点A顺时针旋转得AB1E1,点E1落在边AD上时旋转停止.若点B1落在矩形对角线AC上,且点B1AD的距离小于时,求m的取值范围.

【答案】(1)①2;②1≤m;(2)<m≤4.

【解析】

1)①画出图形,由CFAE可得内错角和同位角相等,由翻折有对应角相等,等量代换后出现等腰三角形,即求出m的值.
②由于ABE的形状大小是固定的,其翻折图形也固定,故可求点FAD的距离FGAG的长度,根据DFG是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示DF2的长度,此时可把DF2看作是m的二次函数,根据二次函数图象的性质和DF2的范围,确定自变量m的范围.
2)根据点B1AC上,利用内错角相等即三角函数相等可用含m的式子表示B1AC的距离B1M,即求出m的最小值.又画图可知,当点E1落在AD上时,m最大,画出图形,利用∠ACB=B1AE1即三角函数相等即求出m的值.

解:(1)①如图1,∵CFAE

∴∠FCE=∠AEB,∠CFE=∠AEF

∵△ABE翻折得到AFE

EFBE1,∠AEF=∠AEB

∴∠FCE=∠CFE

CEEF1

mBCBE+CE2

m的值是2

②如图2,过点FGHAD于点G,交BC于点H

GHBC

∴∠AGF=∠FHE90°

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠B90°

∴四边形ABHG是矩形

GHAB2AGBH

∵△ABE翻折得到AFE

EFBE1AFAB2,∠AFE=∠B90°

∴∠AFG+EFH=∠AFG+FAG90°

∴∠EFH=∠FAG

∴△EFH∽△FAG

EHx,则AGBHx+1

FG2EH2x

FHGHFG22x

解得:x

AGFG

ADBCm

DG|ADAG||m|

DF2DG2+FG2=(m2+2

即可把DF2看作关于m的二次函数,抛物线开口向上,最小值为.

∵(m2+2 解得:m1m21

∴根据二次函数图象可知,1≤m

2)如图3,过点B1MNAD于点M,交BC于点N

MNABMNAB2

AC

sinACB

ADBC,点B1AC

∴∠MAB1=∠ACB

sinMAB1

∵点B1AD的距离小于

MB1

解得:

m0

m

如图4,当E1落在边AD上,且B1AC上时,m最大,

此时,∠ACB=∠B1AE1=∠BAE

tanACBtanBAE

mBC2AB4

m的取值范围是m≤4

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