Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC=120°，AC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是上任意一点(不包括点A、C)，顺次连接四边形ABCD四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长的最大值为____________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根据圆内接四边形的性质得到∠D=60°，连接OA，OC，过O作OM⊥AC于M，解直角三角形求出OA的值，如图2，四边形EFGH是边形ABCD的中点四边形，根据三角形的中位线的性质得到EF=HG=AC，EH=FG=BD，于是得到结论．

如图1．

∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC=120°，∴∠D=60°，

连接OA，OC，∴∠AOC=120°，

过O作OM⊥AC于M，

∴∠AOMAOC=60°，AMAC=1，

∴OA，

∴BD．

如图2，四边形EFGH是边形ABCD的中点四边形，

∴EF=HGAC，EH=FGBD，

∴当BD最大时，四边形EFGH的周长的值最大，

∴当BD为⊙O的直径时，四边形EFGH的周长的值最大，

∴四边形EFGH的周长的最大值=EF+HG+HE+GF=AC+BD=2．

故答案为：2．