【题目】如图,在△ABC 中,AB = AC,以AB为直径的⊙O 分 别交AC,BC于点 D,E,过点B作⊙O的切线, 交 AC的延长线于点F.
(1) 求证:∠CBF =∠CAB;
(2) 若CD = 2,,求FC的长.
【答案】(1)见解析;(2)FC= .
【解析】
(1)利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠EAC=∠CAB,由弦切角定理可得∠BAE=∠CBF,即可证明.
(2)连接BD,由∠DBC=∠CBF. 得到tan∠DBC=.得出BD=4. 设AB=x,则AD= ,在RtΔABD中,根据勾股定理求得AB=5,证明ΔABD∽ΔAFB,根据相似三角形的性质即可求解.
(1)证明:∵AB 为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABC=90°,
∵AB = AC,
∴∠BAE=∠EAC=∠CAB.
∵BF为⊙O 的切线,
∴∠ABC+∠CBF=90°.
∴∠BAE=∠CBF.
∴∠CBF =∠CAB.
(2)解:连接BD,
∵AB 为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠DBC=∠DAE,
∴∠DBC=∠CBF.
∵tan∠CBF=.
∴tan∠DBC=.
∵CD=2,
∴BD=4.
设AB=x,则AD= ,
在RtΔABD中,∠ADB=90°,由勾股定理得x=5.
∴AB=5,AD=3.
∵∠ABF=∠ADB=90°,∠BAF=∠BAF.
∴ΔABD∽ΔAFB.
∴.
∴AF=.
∴FC=AF-AC=.
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【题目】在某海域,一艘海监船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只,正沿正西方向航行,海监船立即沿南偏西60°方向以40海里/小时的速度去截获不明船只,经过1.5小时,刚好在A处截获不明船只,求不明船只的航行速度.(≈1.41,≈1.73,结果保留一位小数).
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【题目】2019中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举办,预售期门票价然有“平日票”和“推定日票”两种,其中平日票的单价比指定日票的单价少40元1张:某学校计划组织学生去参观,用9600元购买的平日票的票数与用12800元购买的旅定日票的票数相等.
(1)求该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是多少元?
(2)若两种票共购买了200张,且购买的总费用是28800元,求购买了多少张平日票?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象l与y轴交于点C,A1的坐标为(1,0),点B1在直线l上,且A1B1平行于y轴,连接CA1、OB1交于点P1,过点A1作A1B2∥OB1交直线l于点B2,过点B1作B1A2∥CA1交x轴于点A2,A1B2与B1A2交于点P2,……,按此进行下去,则点P2019的坐标为_____.
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【题目】某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息:
“读书节”活动计划书 | ||
书本类别 | A类 | B类 |
进价(单位:元) | 18 | 12 |
备注 | 1.用不超过16800元购进A,B两类图书共1000本; 2.A类图书不少于600本; …… |
(1)陈经理查看计划数时发现:A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买图书,能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本,请求出A,B两类图书的标价;
(2)经市场调查后,陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案,A类图书每本标价降低a元(0<a<5)销售,B类图书价格不变,那么书店应如何进货才能获得最大利润?
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【题目】如图,菱形ABCD的周长为8,对角线BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点;且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
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【题目】如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与半径AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.
⑴求证:∠C=90o;
⑵当BC=2,sinA=时,求AF的长.
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【题目】某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩(满分30分),随机抽查了40名学生的成绩(单位:分),得到如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图中m的值为_______________.
(2)求这40个样本数据的平均数、众数和中位数:
(3)根据样本数据,估计该中学九年级2000名学生中,体育测试成绩得满分的大约有多少名学生。
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【题目】如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴,y轴上,连OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A′的位置,若OB=,tan∠BOC=,则点A′的坐标( )
A. (,) B. (﹣,) C. (﹣,) D. (﹣,)
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