Question

【题目】如图，是以为直径的的切线，为切点，平分，弦交于点，．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）求证：；

（3）求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB=∠ABM=90°，由角平分线的性质可得∠CAB=∠CBA=45°；
（2）通过证明△EDO∽△ODC，可得，即可得结论；

（3）连接BD，AD，DO，作∠BAF=∠DBA，交BD于点F，由外角的性质可得∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB，可求∠ODB=15°=∠OBD，由直角三角形的性质可得BD=DF+BF=

AD+2AD，即可求tan∠ACD的值．

证明：（1）∵是以为直径的的切线，

∴，

∵平分，

∴

∵是直径

∴，

∴

∴

∴是等腰直角三角形；

（2）如图，连接

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（2）如图，连接，作，交于点，

∵

∴，

∴，

∵，

∴

∵

∴

∵是直径

∴

∴

∴

∴