Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanC= ，⊙O的半径为2，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE．

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

又∵∠DAE=∠OAE，

∴∠OEA=∠DAE，

∴OE∥AD，

∴∠ADC=∠OEC，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

故∠OEC=90°．

∴OE⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：∵tanC= ，

∴∠C=30°，

又∵OE=2，

∴OC=4，AC=6，

在Rt△OCE中，tanC= ，

∴CE=2 ，

在Rt△ACD中，cosC= ，

CD=3

∴DE=CD﹣CE=3 ﹣2 = ．

【解析】（1）连接OE．依据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得到∠OEA=∠DAE，从而可证明OE∥AD，然后依据平行线的性质可证∠OEC=90°；
（2）先依据特殊锐角三角函数值可求得∠C=30°，然后可求得AC=6，依据特殊锐角三教函数值可求得CE和CD的长，最后依据DE=CD﹣CE求解即可.
【考点精析】认真审题，首先需要了解角平分线的性质定理(定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上)，还要掌握解直角三角形(解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法))的相关知识才是答题的关键．