Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+ x+1（a≠0）与x轴交于A，B两点，其中点B坐标为（2，0）．

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=﹣x上的动点，当直线OP平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点C是直线BP上方的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点D，点E在直线BP上，连结CE，以CD为腰的等腰△CDE的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（2，0）代入y=ax2+ x+1，

可得4a+1+1=0，解得a=﹣ ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+1，

令y=0，可得﹣ x2+ x+1=0，解得x=﹣1或x=2，

∴A点坐标为（﹣1，0）

（2）解：若y=﹣x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，

如图1，若P点在x轴上方，PB与y轴交于点A′，

由于点P在直线y=﹣x上，可知∠POA=∠POA′=45°，

在△APO和△A′PO中 ，

∴△APO≌△A′PO（ASA），

∴AO=A′O=1，

∴A′（0，1），

设直线BP解析式为y=kx+b，

把B（2，0）、A′（0，1）两点坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线BP解析式为y=﹣ x+1，

联立 ，解得 ，

∴P点坐标为（﹣2，2）；

若P点在x轴下方时，如图2，

∠BPO≠∠APO，即此时没有满足条件的P点，

综上可知P点坐标为（﹣2，2）

（3）解：存在，

如图3，作CH⊥PB于点H，

∵直线PB的解析式为y=﹣ x+1，

∴F（0，1），

tan∠BFO= = =2，

∵CD∥y轴，

∴∠BFO=∠CDF，

tan∠CDF=tan∠BFO= =2，

∴CH=2DH，

设DH=t，则CH=2t，CD= t，

∵△CDE是以CD为腰的等腰三角形，

∴分两种情况：

①若CD=DE时，则S△CDE= DECH= t2t= ，

②若CD=CE时，则ED=2DH=2t，

∴S△CDE= DECH= 2t2t=2t2，

∵2t2＜ t2，

∴当CD=DE时△CDE的面积比CD=CE时大，

设C（x，﹣ x2+ x+1），则D（x，﹣ x+1），

∵C在直线PB的上方，

∴CD= =（﹣ x2+ x+1）﹣（﹣ x+1）=﹣ =﹣ ，

当x=1时，CD有最大值为 ，

即 t= ，

t= ，

∴S△CDE= = × = ，

存在以CD为腰的等腰△CDE的面积有最大值，这个最大值是 ．

【解析】（1）将点B坐标代入到抛物线的解析式可求得a的值，令y=0，得到关于x的方程，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）当点P在x轴上方时，连接BP交y轴于点A′，然后证明△APO≌△A′PO，依据全等三角形的性质可得到AO=A′O=1，从而可求得A′坐标，然后利用待定系数法可求得直线BP的解析式，联立直线y=-x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，画图可知：∠BPO≠∠APO，即此时没有满足条件的P点；
（3）过C作CH⊥DE于点H，由直线BP的解析式可求得点F的坐标，结合条件可求得tan∠BFO和tan∠CDF，可分别用DH表示出CH和CD的长，分CD=DE和CD=CE两种情况，分别用t表示出△CDE的面积，再设出点C的坐标，利用二次函数的性质可求得△CDE的面积的最大值.