Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣ x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直线y=﹣ x+1可知A（0，1），B（﹣3， ），又点（﹣1，4）经过二次函数，

根据题意得： ，

解得： ，

则二次函数的解析式是：y=﹣ ﹣ x+1；

（2）解：方法一：设N（x，﹣ x2﹣ x+1），

则M（x，﹣ x+1），P（x，0）．

∴MN=PN﹣PM

=﹣ x2﹣ x+1﹣（﹣ x+1）

=﹣ x2﹣ x

=﹣ （x+ ）2+ ，

则当x=﹣ 时，MN的最大值为 ；

方法二：设N（t，﹣ ），

∴M（t，﹣ t+1），

∴MN=Ny﹣My=﹣ + t﹣1，

∴MN=﹣ ，

当t=﹣ 时，MN有最大值，MN=

（3）解：方法一：连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，

即四边形BCMN是菱形，

则MN=BC，且BC=MC，

即﹣ x2﹣ x= ，

且（﹣ x+1）2+（x+3）2= ，

解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．

故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分

方法二：若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．

∴NC⊥BM且MN=BC= ，

即﹣ = ，

∴t1=﹣1，t2=﹣2，

①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），

∴KNC= =2，

∵KAB=﹣ ，

∴KNC×KAB=﹣1，

∴NC⊥BM．

②t2=﹣2，N（﹣2， ），C（﹣3，0），

∴KNC= = ，KAB=﹣ ，

∴KNC×KAB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．

∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．

【解析】（1）根据已知条件抛物线与直线相交于A、B两点。且点A在y轴上，由此根据x=0,求出点A的坐标，又有BC⊥x轴，将x=-4代入一次函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法，将点A、B、C三点分别代入二次函数解析式，建立方程组求解即可。
（2）抓住已知条件点N在AB上方，NP⊥x轴，交AB于点M，可知点M（在直线AB上）、N（在抛物线上）的横坐标相等，由此根据两函数解析式分别设点M、N的坐标，再求出PN,PM，根据MN=PN﹣PM，建立MN关于x的二次函数，求出其顶点坐标即可求出结论。或MN=Ny﹣My，建立函数也可。注意：MN＞0.
（3）由已知BM与NC相互垂直平分，可证得四边形BCMN是菱形，根据点B的纵坐标可得出菱形的边长MN=，且CP2+PM2=CM2。建立方程求解即可求出点N的坐标；或根据MN=建立方程求解，再根据t的取值去判断NC与BM是否垂直，从而得出N点坐标。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用因式分解法和二次函数的最值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．