Question

在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的坐标是多少？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，即可求得C的坐标，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，根据勾股定理即可求得C的坐标，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．

解答：解答：解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C₁，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6-2=4，
∴C₁的纵坐标为4，
∴C₁（4，4），
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C₂，C₃，
设C的坐标为（m，m），
根据题意：m²+（m-2）²=6²，
解得：m=1+

7

，或m=1-

7

，
∴C₂（1+

7

，1+

7

），C₃（1-

7

，1-

7

）；
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6×

2

2

=3

2

，
∵3

2

＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，
所以点C的坐标为（4，4）或（1+

7

，1+

7

）或（1-

7

，1-

7

）；

点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，勾股定理的应用，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．