Question

如图，D为△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC，分别交BC于点E，F，过E作EG∥AC，交AB于点G，过F作FH∥AB，交AC于H．求证：BG+GE+ED+DF+FH+HC=AB+AC．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长ED交AC于点I，延长FD交AB于点J，由条件可证明四边形AJFH和四边形DEGJ为平行四边形，可得到DE=GJ，HF=DI=AJ，可得到AB=BG+DE+HF，同理可得到AC=HC+DF+GE，可证得结论．

解答：证明：如图，延长DE交AC于点I，延长FD交AB于点J，
∵FH∥AB，DF∥AC，
∴四边形AJFH为平行四边形，
∴AJ=FH，
∵DF∥AC，GE∥AC，
∴GE∥DF，且DE∥AB，
∴四边形DEGJ为平行四边形，
∴GJ=DE，
∴AB=BG+GJ+AJ=BG+DE+HF，
同理可得AC=CH+DF+GE，
∴BG+GE+ED+DF+FH+HC=AB+AC．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．即①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．