Question

1．如图，AD是△ABC的高，若AB+BD=AC+CD，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；由AB+BD=CD+AC，得到DE=DF，又AD⊥BC；推出△AEF是等腰三角形；得到∠E=∠F；于是得到∠ABC=2∠E；同理得∠ACB=2∠F；证得∠ABC=∠ACB，即可得到结论．

解答 证明：延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF．
∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，
又AD⊥BC，
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．

点评 此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，正确的构建出等腰三角形是解题的关键．