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【题目】如图,二次函数yax24axa0)的图象与直线ykx+3交于点A(﹣1)、点C两点.

1)求ak的值;

2)点P在第一象限的抛物线上,其横坐标为t,连接PCPA,设△PCA的面积为S,求S关于t的函数关系式:(直接写出t的取值范围)

3)在(2)的条件下,作CEx轴于E,点P直线ykx+3下方时,连接OPBC交于D,连接ED,当∠ODE90°时,求tS的值.

【答案】(1)a,k=;(2)S=,(4<t<6)或,( t>6)(3)解得t=5,S=.

【解析】

(1)将A(-1,)代入二次函数y=ax2-4ax(a≠0)与直线y=kx+3中,可得a,k的值;

(2)分P点再BC中,与BC右侧两种情况讨论计算可得答案;

(3)由∠ODE=90°,=-1,可得方程D点坐标,计算可得t,s的值.

解:(1)将A(-1,)代入二次函数y=ax2-4ax(a≠0)与直线y=kx+3;

可得:a,k=

(2)易得B点坐标(4,0),联立二次函数y=与一次函数y=可得

C点坐标(6,6),

如图

当P点再BC中间时候,横坐标为t,(4<t<6),可得P(t,),D(t,)

=-()=

过点P做AC的垂线垂足为D,过A点做DP的垂线,设垂线长为,过C点做DP的垂线, 垂线长为,可得==7,

= )= 7=,(4<t<6);

如图,

同理,当P点再C右侧时,即t>6时,

同理过点PD⊥x轴,交AC与D点,过点C做垂线垂直PD,垂线长为,过A点做垂线垂直PD,垂线长为,易得==7,=-()=,

易得:= )=,( t>6)

(3)如图

易得:E点坐标(6,0),B点(4,0),

可得BC直线的方程:y=3x-12,

设D点坐标为(x,3x-12),4<x<6,由∠ODE=90°,

可得=-1,可得,

化简得:;

可得:=3(舍去),=

可得:D点坐标(

可得OD的方程为y=

联立OD与二次函数的方程可得:

可得x=5,即t=5,

代入=,可得S=,

故答案:t=5,s=.

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