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【题目】如图,⊙O是梯形ABCD的内切圆,ABDC,E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点.

(1)求证:AB+CD=AD+BC

(2)求∠AOD的度数.

【答案】(1)证明见解析;(2)90°.

【解析】

(1)根据切线长定理可证得AE=AN,BE=BM,DF=DN,CF=CM,进而证明AB+DC=AD+BC;

(2)连OE、ON、OM、OF,通过证明OAE≌△OAN,得到∠OAE=OAN.同理:∠ODN=ODE,再利用平行线的性质:同旁内角互补即可求出∠AOD的度数.

1)证明:∵⊙O切梯形ABCDEMFN,由切线长定理:AE=ANBE=BMDF=DNCF=CM

AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM

AB+DC=AD+BC

2)OEONOMOF

OE=ONAE=ANOA=OA

∴△OAE≌△OAN

∴∠OAE=OAN

同理,∠ODN=ODF

∴∠OAN+ODN=OAE+ODE

又∵ABDC,∠EAN+CDN=180°

∴∠OAN+ODN=×180°=90°

∴∠AOD=180°90°=90°

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