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【题目】如图,PB为O的切线,B为切点,直线PO交于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交O于点A,延长AO与O交于点C,连接BC,AF.

(1)求证:直线PA为O的切线;

(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;

(3)若BC=6,tanF=,求cosACB的值和线段PE的长.

【答案】(1)证明见解析(2)EF2=4ODOP,证明见解析(3)

【解析】解:(1)连接OB,

PB是O的切线,∴∠PBO=90°。

OA=OB,BAPO于D,

AD=BD,POA=POB。

PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴∠PAO=PBO=90°。直线PA为O的切线。

(2)EF2=4ODOP。证明如下:

∵∠PAO=PDA=90°,∴∠OAD+AOD=90°,OPA+AOP=90°。

∴∠OAD=OPA。∴△OAD∽△OPA,,即OA2=ODOP。

EF=2OA,EF2=4ODOP。

(3)OA=OC,AD=BD,BC=6,OD=BC=3(三角形中位线定理)。

设AD=x,

tanF=FD=2x,OA=OF=2x﹣3。

在RtAOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32

解得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去)。AD=4,OA=2x﹣3=5。

AC是O直径,∴∠ABC=90°。

AC=2OA=10,BC=6,cosACB=

OA2=ODOP,3(PE+5)=25PE=

(1)连接OB,根据垂径定理的知识,得出OA=OB,POA=POB,而证明PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论

(2)先证明OAD∽△OPA,相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系,然后将EF=2OA代入关系式即可

(3)根据题意可确定OD是ABC的中位线,设AD=x,然后利用三角函数的知识表示出FD、OA,在RtAOD中,勾股定理解出x的值,而能求出cosACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入数据即可得出PE的长 

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