Question

8．如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边的中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PC交BQ于E．连结PQ．BP．
（1）求证PB=PC； 
（2）求MP的长度；  
（3）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质，可得BQ垂直平分PC，进而可得△PBC是等边三角形；
（2）由（1）中的等边三角形可得PN的值．根据图形的关系可MP=MN-PN，代入数据可得答案；
（3）根据折叠的性质，可得PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°；再在Rt△BCQ中，根据三角函数的定义可求得PQ的值，进而可得答案．

解答 （1）解：由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等边三角形．
∴PB=PC； 

（2）证明：由（1）知△PBC是等边三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，∠BPN=$\frac{1}{2}$×∠BPC=30°，
∴PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MP=MN-PN=．

（3）证明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴以PQ为边的正方形的面积为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，翻折变换．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．