Question

如图，在△ABC中，BC=4，AC=4，∠ACB=90°，F为AC中点，连接BF，过点C作CE⊥BF于O点，交AB于E点，连接EF．求证：
（1）∠AFE=∠BFC；
（2）EF+EC=BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）作CD⊥AB，交BF于P点，易证△ACE≌△CBP，可得AE=PC，进而可以求证△AEF≌△PCF，即可解题；
（2）根据（1）中结论可得PF=EF，BP=EC，即可解题．

解答：解：（1）作CD⊥AB，交BF于P点，

∵∠CBO+∠OCB=90°，∠OCB+∠ACE=90°，
∴∠CBO=∠ACE，
在△ACE和△CBP中，

∠A=∠PCB=45° AC=CB ∠ACE=∠CBO

，
∴△ACE≌△CBP（ASA），
∴AE=PC，CE=BP，
在△AEF和△PCF中，

AE=OC ∠A=∠PCF=45° AF=CF

，
∴△AEF≌△PCF（SAS），
∴∠AFE=∠BFC，PF=EF，
（2）∵PF=EF，BP=EC，BF=BP+PF，
∴EF+EC=BF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△PCF是解题的关键．