Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝AC．延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE．

（1）求证：AD平分∠BDE；

（2）若AB//CD，求证：AE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠ADE＝∠ADB，根据角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DAB，求得∠BAD＝∠ADB，根据垂径定理得到AT⊥BC，根据平行四边形的性质得到AE//BC，于是得到结论．

（1）证明：连接AD，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADE＝∠ABC，

∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∴AD平分∠BDE；

（2）解：连接AO并延长交BC于点F，

∵AB//CD，

∴∠ADE＝∠DAB，

∵∠ADE＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠ADB＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵BD＝CE，

∴AB＝CE，

∵AC＝AB，

∴

∴AF⊥BC，

∵AB//CE，AB＝CE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴AE//BC，

∴AF⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．