Question

11．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点P的速度为3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=3tcm，CP=8-3tcm．
（2）若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟△BPD与△CQP全等，说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使△BPD≌△CQP？

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间就可以得出结论；
（2）当BP=PC时，BD=CQ，由BP+CP=BC=8，得出BP=4，t=$\frac{4}{3}$s  CQ=4不成立；
当BP=CQ时，BD=CP，由中点的定义得出BD=AD=5，CP=5，BP=3，即可得出结果；
（3）设Q的速度为acm/s，则P的速度为（a-1）cm/s，由BP与CQ不相等，得出BD=CQ，BP=CP，设运动时间为ts，则at=5，（a-1）t=4，解得t=1s，a=5cm/s即可．

解答 解：（1）∵由题意得：BP=3t，
∴PC=8-3t；
故答案为：3t，8-3t；
（2）经过1秒钟△BPD与△CQP全等，理由如下：
当BP=PC时，BD=CQ，
∵BP+CP=BC=8，
∴BP=4，
∴t=$\frac{4}{3}$s  CQ=4不成立；
当BP=CQ时，BD=CP，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD，
∵AB=10，
∴BD=5，
∴CP=5，
∴BP=3，
∴t=1，故t=1；
即若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒钟△BPD与△CQP全等；
（3）设Q的速度为acm/s，则P的速度为（a-1）cm/s，
∵BP与CQ不相等，
∴BD=CQ，BP=CP，
设运动时间为ts，
∴at=5，（a-1）t=4，
∴t=1s，a=5cm/s；
即Q的速度是5cm/s时，△BPD≌△CQP．

点评 本题考查了全等三角形的判定的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．