Question

19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4-2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即4-2t=3，求得t=$\frac{1}{2}$，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=$\frac{19}{4}$，若PB=BC，即2t-3-4=3，解得t=5，③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC²=BF•AB，列方程3²=$\frac{2t-3-4}{2}$×5，即可得到结论．

解答 解：（1）设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，PC²+CB²=PB²，
即：（4-2t）²+3²=（2t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴当t=$\frac{25}{16}$时，PA=PB；

（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，
在Rt△BEP中，PE²+BE²=BP²，
即：（2t-4）²+1²=（7-2t）²，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
∴当$t=\frac{8}{3}$时，P在△ABC的角平分线上；

（3）在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，
根据题意得：AP=2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即4-2t=3，
∴t=$\frac{1}{2}$，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$AB，即2t-3-4=$\frac{5}{2}$，解得：t=$\frac{19}{4}$，
②PB=BC，即2t-3-4=3，
解得：t=5，
③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF=$\frac{1}{2}$BP，
∵∠ACB=90°，
由射影定理得；BC²=BF•AB，
即3³=$\frac{2t-3-4}{2}$×5，
解得：t=$\frac{53}{10}$，
∴当$t=\frac{1}{2}，5，\frac{53}{10}或\frac{19}{4}$时，△BCP为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．