Question

10．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；函数值y为负数时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）通过解方程-x²+2x+3=0可得抛物线与x轴两交点坐标，从而得到二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）观察函数图象，写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围和在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可．

解答 解：（1）把（-1，0）、（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得b=2，c=3，
所以二次函数解析式为y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0），（3，0），
即二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；
（3）当-1＜x＜3时，y＞0；
当x＜-1或x＞3时，y＜0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式．