Question

15．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF，下列结论：①AB=2BD；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点O不一定落在AC上；④BD=BF，上述结论中正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ②④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．

解答 解：①由折叠可得BD=DE，∠AED=∠ABD=90°，即∠DEC=90°，
∵DC＞DE，
∴DC＞BD，
∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②由翻折的性质可知：图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED．
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL）．
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF．
∴∠AEF=∠DEF=45°，
∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°．
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°．
又∵∠BFD为三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°．
∴∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°．
∴∠BFD=∠BDF．
∴BD=BF，故④正确．
故选B．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、三角形外角的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．