Question

4．△ABC中，AB=AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．
（1）如图1，如果∠BAC=90°，求证：AF⊥BE并求$\frac{AF}{BE}$的值；
（2）如图2，如果∠BAC=a，求证：AF⊥BE并用含a的式子表示$\frac{AF}{BE}$．

Answer 1

分析 连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD⊥BC，然后根据同角的余角相等可得∠ADE=∠C．易证△ADB∽△DEC，可得AD•CE=BD•DE．由此可得AD•CE=$\frac{1}{2}$BC•2DF=BC•DF，即$\frac{AD}{DF}=\frac{DE}{CE}$，由此可证到△AFD∽△BEC，则有$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，在Rt△ADB中根据三角函数的定义可得tan∠ABD=tan（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2AD}{BC}$，从而可得$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$tan（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）．由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°．利用以上结论即可解决题中的两个问题．

解答 解：如图1，连接AD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{CE}$，
即AD•CE=BD•DE．
∵点D是BC的中点，点F是DE的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，DE=2DF，
∴AD•CE═$\frac{1}{2}$BC•2DF=BC•DF，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{DE}{CE}$，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴tan∠ABD=tan（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2AD}{BC}$，
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{2}$tan（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）．
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE．
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°，
（1）如图1，
根据以上结论可得：
∠AHB=90°，$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$tan（90°-$\frac{1}{2}$×90°）=$\frac{1}{2}$；
∴AF⊥BE，$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，
根据以上结论可得：∠AHB=90°，$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$tan（90°-$\frac{1}{2}$α）；
∴AF⊥BE，$\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$tan（90°-$\frac{1}{2}$α）．

点评 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识，证到△AFD∽△BEC是解决本题的关键．