Question

9．如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+2x交x轴的负半轴于A，以O为旋转中心，将线段OA按逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的α的值是30°或150°．

Answer 1

分析 首先求出抛物线的顶点坐标以及AO的长，再利用平移的性质结合AO只是左右平移，进而得出旋转的角度．

解答 解：由题意可得：y=$\frac{1}{2}{x^2}$+2x=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2，
故抛物线的顶点坐标为：（-2，-2），
当y=0时，0=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2
解得：x₁=0，x₂=4，
故AO=4，
∵将线段OA按逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，
∴旋转后对应点A′到x轴的距离为：2，
如图，过点A′作A′C⊥x轴于点C，
当∠COA′=30°，
则CA′=$\frac{1}{2}$A′O=2，
故α为30°时符合题意，
同理可得：α为150°时也符合题意，
综上所述：所有符合题意的α的值是30°或150°．
故答案为：30°或150°．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点是解题关键．