Question

9．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=4$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，对角线AC、BD交于点O，以点B为圆心，BC为半径作圆与BD交于点E，则图中阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据菱形的性质可得AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，再证明△ABC是等边三角形，可得CA=BC，然后利用勾股定理计算出CO长，进而得到BC长，然后利用扇形EBC的面积减去△BOC的面积即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠OBC=30°，
∴AB=BC=AC，
∵BD=4$\sqrt{3}$，
∴BO=2$\sqrt{3}$，
∵AC⊥BD，∠OBC=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$BC，
∵CO²+BO²=BC²，
∴CO²+（2$\sqrt{3}$）²=（2CO）²，
∴CO=2，
∴BC=4，
∵S_△BOC=$\frac{1}{2}$BO•CO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，
S_扇形EBC=$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{4π}{3}$，
∴阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{4π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质，勾股定理的应用，以及扇形的面积，关键是掌握菱形菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．