Question

【题目】如图，在中，，是边上一点，，，垂足分别是、，．

求证：；

若，求证：四边形是正方形．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）根据相似三角形的性质得到=，根据AB=AC，得到AE=AF，利用HL定理证明；

（2）根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，得到BD=AD，根据正方形的判定定理即可证明．

（1）∵△AEF∽△ABC，∴=．

∵AB=AC，∴AE=AF．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．在Rt△AED和Rt△AFD中，∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD；

（2）∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠EAD=∠FAD．

∵AB=AC，∴AD⊥BC，BC=2BD．

∵BC=2AD，∴BD=AD．

∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=∠BAD=45°，∴∠BAC=2∠BAD=90°．

∵∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形．

∵AE=AF，∴矩形AEDF是正方形．